837. 新21点

难度中等190

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1**：**

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输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2**：**

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输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3**：**

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输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

  1. 0 <= K <= N <= 10000
  2. 1 <= W <= 10000
  3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
  4. 此问题的判断限制时间已经减少。

这题是一道首先要确定好DP方向,然后还要对DP进行进一步优化的题目;说实话一开始没有想到状态挺惭愧的;具体的推导见注释;

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class Solution {
public:
    double new21Game(int N, int K, int W) {
        //dp[x]: 得到x分之后继续游戏,成功的概率;
        //dp[x]=(dp[x+1]+dp[x+2].....+dp[x+W])/W
        //初始化: 已知:dp[k]......dp[k+w-1]/dp[n-1]都是1
        //结果:dp[0]
        //优化:发现 dp[x]和dp[x-1]之间的关系:
        //Wdp[x-1]=dp[x]+...+dp[x+w-1]
        //Wdp[x]=dp[x+1].....dp[x+w]
        //W (dp[x]-dp[x-1])=-dp[x]+dp[x+w]
        //(W+1)dp[x]-dp[x+w]=Wdp[x-1]
        //dp[x-1]=((W+1)dp[x]-dp[x+w])/W x<k
        if(K==0){
            return 1.0;
        }
        int maxn=max(N,K+W+1)+1;

        vector<double>dp(maxn,0);
        for(int i=K;i<=N&&i<K+W;i++){
            dp[i]=1.0;
        }
        for(int i=1;i<=W;i++){
            dp[K-1]+=dp[i+K-1];
        }
        dp[K-1]/=W;
        //dp[K - 1] = 1.0 * min(N - K + 1, W) / W;
        //dp[K-1]=((W+1)*dp[K]-dp[K+W])/W;
        for(int i=K-2;i>=0;i--){
            dp[i]=((W+1)*dp[i+1]-dp[i+W+1])/W;
        }

        return dp[0];

        
    }
};