• 离散型:$\sum _{k=1}^{\infty}x_kp_k$,需要它绝对收敛;
  • 连续型:$\int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx$,同样需要它绝对收敛,如果$\int_{-\infty}^{\infty}|x|p(x)dx$发散,则X的数学期望不存在
  • Gamma函数:
    • $\Gamma(1)=1$
    • $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$
    • $\Gamma(n)=(n-1)!$
  • 高斯积分:
    • $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
  • $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
  • $\int \frac{1}{1+x^2}=arctanx$

数学期望

  • 概率与数学期望及方差:
    • 0-1分布:$X~B(1,p)$,$0<p<1$:
      • E(x)=0(1-p)+1p=p
      • D(X)=pq
    • 二项分布:$X~B(n,p)$,$0<p<1$
      • $P\{X=k\}=C_{n}^kp^k(1-p)^{n-k},(k=0,1,…,n)$
      • $E(X)=np$
        • $E(X)$的证明注意$\sum^{n-1}_{s=0}C^{s}_{n-1}p^s(1-p)^{n-1-s}=1$
      • $D(x)=npq$
    • 几何分布:
      • P(X=k)=$p(1-p)^{k-1}$
      • E(x)=
    • 泊松分布:X~$P(\lambda),\lambda>0$
      • $P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$
      • E(X)=$\lambda$
        • $E(x)$的证明注意$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}=1$(这是因为泊松分布概率的加和为1)
        • D(X)=$\lambda$
    • 均匀分布:X~$U(a,b)$
      • $\begin{aligned}p(x)&=\frac{1}{b-a},a<x<b;\\&=0,~~~~others;\end{aligned}$
      • E(x)=$\frac{a+b}{2}$
    • 指数分布:X~E($\lambda$)$\lambda>0$,
      • p(x)=$\lambda e^{-\lambda x}$,x>0;
      • E(x)=$\frac{1}{\lambda}$
    • 正态分布:X~N($\mu,\sigma^2$)
      • p(x)=$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<\infty$
      • E(x)=$\mu$
      • $\mu$:平均值;$\sigma^2$:X取值的离散程度
    • 代换:
      • 一维
        • E(Y)=E[g(X)]=$\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k$(离散)
        • E(Y)=E[g(X)]=$\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)p(x)dx$
      • 二维
        • E(Z)=E[g(X,Y)]=$\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}$(离散型)
        • E(Z)=E[g(X,Y)]=$\int_{j=1}^{\infty}\int_{i=1}^{\infty}g(x,y)p_{x,y}dxdy$(连续型)
      • 边缘密度:E(g(X,Y)),g(X,Y)=x,E(x)=$\int_{j=1}^{\infty}\int_{i=1}^{\infty}xp_{x,y}dxdy$
      • 性质:
        • E(X+Y)=E(X)+E(Y)
        • if X,Y互相独立:E(XY)=E(X)E(Y)
        • 设C是常数:E(C)=C
        • 设k是常数:E(kx)=kE(x)

方差

  • D(X)=E{[X-E(X)]$^2$}
    • D(X)=$\sum_{k=1}^{+\infty}[x_k-E(X)]^2p_k$
    • D(X)=$\int_{-infty}^{+\infty}[x_k-E(X)]^2p_k$
    • D(x)=E($X^2$)-$[E(x)]^2$
  • 性质:
    • D(C)=0;
    • C是常数
      • D(CX)=$C^2$D(X)
      • D(X+C)=D(X)
    • D(X),D(Y)存在:
      • if 不独立:D($X\pm Y$)=$D(X)\pm +D(y)\pm 2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}$
      • else:D($X\pm Y$)=$D(X)\pm +D(y)$
    • 切比雪夫不等式:
      • $P{|X-E(X)|\geq \varepsilon }\leq \frac{D(X)}{\varepsilon ^2 }$
      • $P{|X-E(X)|<> \varepsilon }\geq 1- \frac{D(X)}{\varepsilon ^2 }$
    • D(X)=0 $\Leftrightarrow $ P{X=C}=1